参考资料

CS 15-458/858: Discrete Differential Geometry. Keenan Crane

Differential forms crash course. Jiří Lebl.

Introduction to differential forms. Donu Arapura.

Differential Forms

Derivative Operator

一些基本规则:

在此基础上可以进行一些推导,比如:

卧槽,叉乘和旋度!所以根据经典的,可以导出:

事实上这一结论可以被推广到任意的-form,结论仍然成立。

几个有趣的对应关系——

某种意义上和说的是同一回事:

特别注意一个小坑,针对-form的laplacian operator是:

时第二项恰好为0。

然而,的适用范围可比广得多。

1-form

所以到底什么是?这取决于我们是在什么样的上下文中进行的这一系列演算,换言之,演算出来的结果是拿来干嘛的。

定义中的1-form为具有如下形式的表达式:

这里先把看作无特殊含义的记号,其意义要在确定了它能进行什么样的运算后才会浮现。现考虑某条性质良好的曲线,定义上的积分为:

设想我们把曲线参数化为,则此积分可以被写成:

其中。可以看到,当使用参数进行积分时,将被替换为:

右侧的是货真价实的中的坐标值。注意这里的也没什么特别含义,其意义仅仅是由积分运算赋予的,指明我们是在用什么来进行积分。(这符号系统也太垃圾了,上文中的各具有不同的类型,真是整蛊小能手……)

在这种诠释下,是由对它进行的积分定义的,对施加的一切运算规则都需要确保积分结果不变。

这个诠释相当不错,在进行变量代换时不会受到影响,直到最后真的要用某个变量进行积分时,才展开成与有关的形式,不管中间进行了多复杂的变量代换,都蕴含在中了。

2-form

考虑简化的情形:

对参数化曲面,定义:

其中,

方向上的长度。

这就是说,在用积分时会变成:

很容易将这套定义推广到-form。

验证

上面的定义看起来很不错,还需要验证一下它是否满足我们熟悉的运算规则,这样才能大胆地用它来算东西。

比如这是大家都喜欢的分配律:

验证如下:

这里省略了一些平凡的定义,比如2-forms之间的加法。在明确了各种定义后,这堆公式与其说是证明,不如说是平凡的同义反复。不过话说回来,整个数学都是同义反复(

总而言之,透过积分和jacobian矩阵,我们终于可以拿着到处晃荡了。只是需要注意,这里differential k-forms的意义是由维表面上的积分赋予的,如果我们处在一个相应的积分无数学意义的context中,就不能随意使用这些运算规则。

当然,应该还有其他视角,进而适用范围也与此不同。不过我的学习态度比较功利,对此暂时不感兴趣。

Stokes’s Theorm

其中表示的边界。

一个有趣的关联是,,于是——

从而

Inner Product

上的-form,定义:

Vector-Valued k-form

-form是把个向量映射成一个标量,-valued -form则是把个向量映射成一个维向量。

,那么:

Surfaces

Induced Metric. 对参数曲面,设中的两个向量,它们在上的夹角、长度等可以被这样反映:

注意到,其中的Jacobian矩阵。我们把称为first fundamental form,显然它是对称的。我没什么insight,看不出这哪里fundamental了……

如果我们把眼光限制在二维曲面上的话,它上面的differential forms会相对简单,只有三种——

  • 0-form,标量函数
  • 1-form,就像曲面上的一个向量场
  • 2-form,scalar multiples of oriented area,某种意义上也像标量函数

0/2-form之间对应的hodge star都非常平凡,1-form的hodge star则是在曲面上原地旋转90°。若将此曲面参数化为,那么这个1-form hodge star可以表示成:

其中是使得在曲面上转90°的映射——

Discretization

基本概念

Discrete differential -form. oriented -simplex value。如果这个simplicial complex中的simplex是带编号的,那么上面的-form就能直接用一个向量来表示,每个元素都代表一个oriented simplex对应的-form值。

de Rham Map. 设是一个oriented simplicial complex,-simplex ,可以像这样把-form离散化到上:

Boundary. 设-simplex,定义其边界为:

注意这里的加法就只单纯地组装出来一个oriented simplex的列表,这样的列表被称为“simplicial chain”。Simplex上的边界可以被自然地拓展到chain上:

美妙的事情来了,boundary of boundary是

Simplicial -cochain:linear map taking a simplicial -chain to a number——

显然之前的discrete -form可以被自然地视作一个simplicial -cochain。-chain就像-vector,-cochain则像-form,也就是对-vector的measurement:

(图片来自CS 15-458/858

Discrete Exterior Derivative

既然discrete differential -form是把differential -form在oriented simplex上积分得来的,那么连续版derivative operator作用的结果在oriented simplex上积分,就能得到离散版本的d operator。

考虑某个0-form,它的离散版本是,即在顶点处采样得到的一堆值。我们知道,是个1-form,那么就应该是把在1-simplex上积分的结果——

其中oriented edge。显然,这一结果可以借助Stokes定理推广到任意-form上。噢噢噢噢噢,有了!

Matrix Representation

之前提到,在domain进行了编号的情况下,discrete -form可以被编码成列向量。设想某个simplicial 2-complex,有个顶点,条边,而且都编好了号,那么从0-form到1-form的derivative operator就可以被编码为一个的incident matrix,用它乘对应的列向量, 就能得到对应的向量。类似地,simplicial complex上所有的derivative都可以被编码成这样的矩阵,矩阵内容由simplicial complex中的邻接关系、编号、以及朝向决定。

Discrete Hodge Star

之前把各种连续情形下的概念弄到离散情形下的方式都非常自然,但是接下来要说的discrete hodge star就充满了工程感——我们还没找到完美的离散版本,所以只能强行构造一个,近似捕获其主要特征,从而进行各种涉及到hodge star的计算(等)。

Dual Forms (Based on Poincaré Duality). 对simplicial -complex,其中的每个primal -form对应一个dual 0-form,每个primal -form对应一个dual 1-form,以此类推,每个primal 0-form对应一个dual -form。

Circumcentric Dual. 如何决定dual mesh的顶点位置呢?对simplicial -complex中的每个-simplex,其外接球体是唯一的,我们就把这个-simplex的dual vertex放在球心的位置。可以证明,这样构造出的dual form和primary form在空间中相互垂直。

也存在其他确定dual mesh位置的方式,但circumcentric dual是最常用的。

Diagonal Hodge Star. 考虑一个primal -form和其dual -form,disgonal hodge star被定义为:

其中是simplex cell的体积。

Discrete hodge star的定义背后有着这样的动机:假设primal form和其对应的dual form在几何上相互垂直,这和连续情形下的hodge star一致。我们知道,连续hodge star可以保持作用前后的”长度”不变,而discrete differential froms的值是把连续情形的值在simplex内积分得到的,其结果会受到cell大小的影响。通过,这一影响被排除了。

之所以把用这种方式定义的hodge star称为diagonal hodge star,是因为其矩阵表示是个对角矩阵,对角元素正是这些

一般来说,我们很少会真的去计算dual mesh的位置,而是用各种边长和内角直接导出volume的比值,就像这样(0-form的volume被工程地设定为1):

Discrete Surfaces

TODO