四元数基础

学了这么久的graphics，居然连四元数都迷迷糊糊的，真是丢人急先锋，索性花点时间相关东西理清楚。

相关内容的C++实现

复数与二维旋转

二维情形下，将某个点$(x,y)$绕原点$(0,0)$逆时针旋转$\theta$的变换矩阵为：

$$\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\cos \theta -y\sin \theta \\ x\sin \theta +y\cos \theta \end{array}\right]$$

也可以利用复数乘法的几何解释来完成旋转：

$$e^{i\theta }(x+iy)=(\cos \theta +i\sin \theta )(x+iy)=(\cos \theta -y\sin \theta )+i(x\sin \theta +y\cos \theta )$$

籍由这两种旋转表示方式的等价性，可以将其拓展到三维空间。

三维旋转公式

现需要在右手系下将向量$\vec{a}$绕单位向量$\vec{d}$旋转$\theta$度，显然$\vec{a}$可以被分解为平行于$\vec{d}$和垂直于$\vec{d}$的两个分量，其中前者无需修改：

$$\begin{array}{rl}& \vec{a}={\vec{a}}_{\perp }+{\vec{a}}_{\parallel }\\ & {\vec{a}}_{\perp }=\vec{a}-{\vec{a}}_{\parallel }\\ & {\vec{a}}_{\parallel }={\mathrm{Proj}}_{\vec{d}}\vec{a}=(\vec{a}\cdot \vec{d})\vec{d}\end{array}$$

若将${\vec{e}}_{{\vec{a}}_{\perp }}$视为$x^{\prime }$轴，将$\vec{d}$视为$z^{\prime }$轴，则求它们的叉积即可得到$y^{\prime }$轴。此时只需要将经典的二维旋转变换应用到$x^{\prime }{y}^{\prime }{z}^{\prime }$坐标系中的$x^{\prime }{y}^{\prime }$平面上，即可求出旋转后的${\vec{a}}_{\perp }^{\prime }$，也就求出了${\vec{a}}^{\prime }={\vec{a}}_{\perp }^{\prime }+{\vec{a}}_{\parallel }$。设$L_p=|{\vec{a}}_{\perp }|$，则${\vec{a}}_{\perp }$在$x^{\prime }{y}^{\prime }{z}^{\prime }$中的坐标为$(L_p,0,0)$，此时在$x^{\prime }{y}^{\prime }$平面上进行旋转变换，得到：

$$\begin{array}{rl}{\vec{a}}_{\perp }^{\prime }& =\left[\begin{array}{cc}{\vec{e}}_{x^{\prime }}& {\vec{e}}_{y^{\prime }}\end{array}\right]\left(\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{L}_p\\ 0\end{array}\right]\right)\\ & =\cos \theta {\vec{a}}_{\perp }+\sin \theta \left(\vec{d}\times {\vec{a}}_{\perp }\right)\\ & =\cos \theta {\vec{a}}_{\perp }+\sin \theta \left(\vec{d}\times \vec{a}\right)\end{array}$$

从而旋转后的${\vec{a}}^{\prime }$为

$${\vec{a}}^{\prime }={\vec{a}}_{\perp }+{\vec{a}}_{\parallel }^{\prime }=(1-\cos \theta )(\vec{a}\cdot \vec{d})\vec{d}+\cos \theta \vec{a}+\sin \theta (\vec{d}\times \vec{a})$$

四元数

顾名思义，四元数包含一个实部和三个虚部，虚部单位分别以$i,j,k$表示，它们满足：

$$ij=k,jk=i,ki=j,i^2=j^2=k^2=-1$$

四元数被定义为$1,i,j,k$的线性组合（没错，四元数定义到这就算结束了），加法减法乘法共轭以及范数都可以直接拓展复数的相关定义得到：

$$\begin{array}{rl}(a+ib+jc+kd)+(e+if+jg+kh)& =(a+e)+i(b+f)+j(c+g)+k(d+h)\\ (a+ib+jc+kd)-(e+if+jg+kh)& =(a-e)+i(b-f)+j(c-g)+k(d-h)\\ (a+ib+jc+kd)\times (e+if+jg+kh)& =(ae-bf-cg-dh)+i(be+af-dg+ch)\\ & +j(ce+df+ag-bh)+k(de-cf+bg+ag)\\ (a+ib+jc+kd{)}^{\ast }& =a-ib-jc-kd\\ |a+ib+jc+kd|& =\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}\end{array}$$

四元数$a+ib+jc+kd$常被记作$[a,\vec{v}]$，其中：

$$\vec{v}=\left[\begin{array}{c}b\\ c\\ d\end{array}\right]$$

可以验证：

$$\begin{array}{rl}[s,\vec{v}]\times [t,\vec{u}]& =[st-\vec{v}\cdot \vec{u},s\vec{u}+t\vec{v}+\vec{v}\times \vec{u}]\\ [s,\vec{v}]+[t,\vec{u}]& =[s+t,\vec{v}+\vec{u}]\\ [s,\vec{v}{]}^{\ast }& =[s,-\vec{v}{]}^{\ast }\\ |[s,\vec{v}{]}^{\ast }|& =|[s,\vec{v}]|\end{array}$$

最后来个逆：四元数$q$的逆是指满足$q{q}^{-1}=q^{-1}=1$的四元数$q^{-1}$。根据$q^{\ast }$和$q$的长度关系，有：

$$\frac{q{q}^{\ast }}{|q{|}^2}=1\Rightarrow q^{-1}=\frac{q^{\ast }}{|q{|}^2}$$

特别地，单位四元数的逆就是其共轭。

四元数和三维旋转

根据之前的讨论，有：

$${\vec{a}}_{\perp }^{\prime }=\cos \theta {\vec{a}}_{\perp }+\sin \theta (\vec{d}\times {\vec{a}}_{\perp })$$

若令四元数$a_{\perp }=[0,{\vec{a}}_{\perp }],d=[0,\vec{d}]$，则$d{a}_{\perp }=[0,\vec{d}\times {\vec{a}}_{\perp }]$，于是$a_{\perp }^{\prime }=[0,{\vec{a}}_{\perp }^{\prime }]$满足：

$$a_{\perp }^{\prime }=[0,\cos \theta {\vec{a}}_{\perp }+\sin \theta (\vec{d}\times {\vec{a}}_{\perp })]=\cos \theta a_{\perp }+\sin \theta (d{a}_{\perp })=(\cos \theta +\sin \theta d)a_{\perp }$$

可见这一旋转可以认为是将四元数$cos\theta +\sin \theta d$作用到$a_{\perp }$上得到的。

验证可知若$\vec{d}$为单位向量，则$[\cos \theta ,\sin \theta \vec{d}{]}^2=[cos(2\theta ),\sin (2\theta )\vec{d}]$，其意义很直观——如果把单位四元数$q$视为一个旋转变换，那么$q^2$相当于进行两次这样的变换，即将旋转角翻倍。基于此，若令：

$$\begin{array}{rl}{a}^{\prime }& =[0,\vec{a}]\\ a_{\parallel }& =[0,{\vec{a}}_{\parallel }]\\ p& =[\cos (\frac{1}{2}\theta ),\sin (\frac{1}{2}\theta )\vec{d}]\end{array}$$

则有：

$$a^{\prime }=a_{\parallel }+pp{a}_{\perp }=p{p}^{-1}{a}_{\parallel }+pp{a}_{\perp }=p{p}^{\ast }{a}_{\parallel }+pp{a}_{\perp }$$

容易验证$p{a}_{\parallel }=a_{\parallel }p$，$p{a}_{\perp }=a_{\perp }{p}^{\ast }$，代入上式得：

$$a^{\prime }=p{a}_{\parallel }{p}^{\ast }+p{a}_{\perp }{p}^{\ast }=p(a_{\parallel }+a_{\perp })p^{\ast }=pa{p}^{\ast }$$

这就得到了用四元数进行绕任意轴旋转的公式。

球面线性插值

我们通常用旋转矩阵来进行三维空间中的旋转操作，但这在需要对旋转角进行插值时（比如涉及到旋转的动画）并不好用，因为这不能通过直接对矩阵元素进行线性插值来实现。四元数则提供了一种方便的插值方式——由于旋转角$\theta$在四元数中直接出现，因此可以把将$\theta$线性插值的四元数用于旋转操作，这将提供一个平滑的旋转过程，称为球面线性插值（Spherical Linear Interpolation，Slerp）。

设初始旋转四元数是$q$，结束旋转四元数是$q^{\prime }$，插值系数为$t\in [0,1]$，若令：

$$\Delta q=q^{\prime }\Rightarrow \Delta =q^{\prime }{q}^{-1}=q^{\prime }{q}^{\ast }$$

则$\Delta$也是一个旋转四元数，它必然具有$[\cos (\frac{1}{2}\theta ),\sin (\frac{1}{2}\theta )\vec{d}]$的形式，此时对$\Delta$的旋转角在$[0,\frac{1}{2}\theta ]$间进行线性插值即可，即：

$$q(t)=\left[\cos \left(\frac{t}{2}\theta \right),\sin \left(\frac{t}{2}\theta \right)\vec{d}\right]$$

在实际应用中，Slerp有个小坑——朝某个方向旋转$\theta$角度和朝它的反方向旋转$2\pi -\theta$在结果上是等价的，在插值过程中却表现得完全不同，因此，若$q$和$q^{\prime }$间的夹角超过$\pi$，即$q\cdot q^{\prime }<0$，则有必要将$q^{\prime }$换成$-q^{\prime }$后再进行插值。