delta函数积分换元

一个小坑。

$${\int }_{\Omega }\delta (\vec{\omega }-{\vec{\omega }}_0)d\omega =1({\vec{\omega }}_0\in \Omega )$$

将它转换为表面积形式后：

$${\int }_{\mathcal{M}}\delta ({\vec{e}}_{x{x}^{\prime }}-{\vec{e}}_{x{x}_0})\frac{\cos ⟨N_{x^{\prime }},{\vec{e}}_{x^{\prime }x}⟩}{|x-x^{\prime }{|}^2}d{A}_x=\frac{\cos ⟨N_{x_0},{\vec{e}}_{x_{0}x}⟩}{|x-x_0{|}^2}$$

这样肯定是不行的，所以在做这个立体角-表面积转换的时候要放缩一下$\delta$：

$$\delta (\vec{\omega }-{\vec{\omega }}_0)\Rightarrow \frac{|x-x_0{|}^2}{\cos ⟨N_{x_0},{\vec{e}}_{x_{0}x}⟩}\delta ({\vec{e}}_{x{x}^{\prime }}-{\vec{e}}_{x{x}_0})$$

它的一般表述是这样的：

$${\delta }_{\mu }(x-x_0)=\frac{d{\mu }^{\prime }}{d\mu }{\delta }_{{\mu }^{\prime }}(x-x_0)$$