可用浮点数精确表示的整数范围

我们知道，IEEE 754中的浮点数是对实数的近似表示，其取值密度在越远离0的地方越稀疏。那么，究竟在多远处浮点数会无法精确地cast到整数呢？本文对此进行了实验和分析。

实验代码很简单：

int main()
{
    for(int i = 0; i < std::numeric_limits<int>::max(); ++i)
    {
        float f = static_cast<float>(i);
        if(i != static_cast<int>(f))
        {
            cout << i << endl;
            break;
        }
    }
 
    for(int i = 0; i > std::numeric_limits<int>::min(); --i)
    {
        float f = static_cast<float>(i);
        if(i != static_cast<int>(f))
        {
            cout << i << endl;
            break;
        }
    }
}

这段代码在VS2019中的输出如下：

16777217
-16777217

也就是说，从+-16777217开始，我们就无法保证一个int被转为float后，还能完好无损地转回来了。对二进制数比较敏感的人可以注意到：

16777217 = 2^{24} + 1

即浮点数能精确表示整数的范围为 $\pm 2^{24}$ 。这数字实在太“整”了，让我们试着从IEEE 754的浮点数格式中一探究竟。

注意到我们讨论的数值落在float的规格化表示范围内。float包含1个符号位，8个指数位，以及23位的尾数。设符号位为 $s$ ，阶码的无符号整数解释为 $e$ ，尾数的位表示为

f_{1} f_{2} \dots f_{23}

则规格化的浮点数取值为：

(- 1)^{s} \times (1 + 2^{- 1} f_{1} + 2^{- 2} f_{2} + \dots + 2^{- 23} f_{23}) \times 2^{e - 127}

当 $e - 127 = 23$ 时，上式变为：

(- 1)^{s} \times (2^{23} + 2^{22} f_{1} + 2^{21} f_{2} + \dots + 2 f_{22} + f_{23})

此时根据 $f$ 每一位的值，该式可以取遍 $[- 2^{24} + 1, 2^{24} - 1]$ 中的每一个整数。而当 $e - 127 = 24$ 且 $f$ 的所有位均为0时， $\pm 2^{24}$ 也可以被精确地表示。一旦超过了这个范围，就出现了相邻的两个浮点值间的距离超过1的情况，也就无法再精确表示剩余的整数了。

Automorphism

可用浮点数精确表示的整数范围

Backlinks