Discrete Differential Forms

参考资料

CS 15-458/858: Discrete Differential Geometry. Keenan Crane

Differential forms crash course. Jiří Lebl.

Introduction to differential forms. Donu Arapura.

Differential Forms

Derivative Operator

一些基本规则：

$$\mathrm{d}f=\sum _n\frac{\partial f}{\partial x_i}\mathrm{d}{x}_{i}f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$$ $$\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y=-\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}x$$ $$\mathrm{d}(f\mathrm{d}x)=\mathrm{d}f\wedge \mathrm{d}x$$ $$\mathrm{d}(fg)=g\mathrm{d}f+f\mathrm{d}g$$

在此基础上可以进行一些推导，比如：

$$\mathrm{d}(\omega \wedge \mu )=\mathrm{d}\omega \wedge \mu +(-1{)}^k\omega \wedge \mathrm{d}\mu \omega \text{ is a k-form}$$ $$(f\mathrm{d}x+g\mathrm{d}y+h\mathrm{d}z)\wedge (a\mathrm{d}x+b\mathrm{d}y+c\mathrm{d}z)=(gc-hb)\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z+(ha-fc)\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x+(fb-ga)\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y$$ $$\mathrm{d}(f\mathrm{d}x+g\mathrm{d}y+h\mathrm{d}z)=\left(\frac{\partial h}{\partial y}-\frac{\partial g}{\partial z}\right)\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z+\left(\frac{\partial f}{\partial z}-\frac{\partial h}{\partial x}\right)\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x+\left(\frac{\partial g}{\partial x}-\frac{\partial f}{\partial y}\right)\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}x$$

卧槽，叉乘和旋度！所以根据经典的$\nabla \times \nabla f=0$，可以导出：

$$\mathrm{d}(\mathrm{d}f)=0$$

事实上这一结论可以被推广到任意的$k$-form，结论仍然成立。

几个有趣的对应关系——

$$\begin{array}{rl}\mathrm{grad}f& ⟷\mathrm{d}f\\ \mathrm{curl}F& ⟷\star \mathrm{d}\omega \\ \mathrm{div}F& ⟷\star \mathrm{d}\star \omega \\ \Delta f:=\mathrm{div}(\mathrm{grad}f)& ⟷\star \mathrm{d}\star \mathrm{d}\omega \end{array}$$

$\mathrm{d}(\mathrm{d}\omega )=0$某种意义上和$\mathrm{div}(\mathrm{curl}F)=0$说的是同一回事：

$$\mathrm{div}(\mathrm{curl}F)=0⟷\star \mathrm{d}\star \star \mathrm{d}\omega =0⟷{\mathrm{d}}^2\omega =0$$

特别注意一个小坑，针对$k$-form的laplacian operator是：

$$\star \mathrm{d}\star \mathrm{d}+\mathrm{d}\star \mathrm{d}\star$$

在$k=0$时第二项恰好为0。

然而，$\mathrm{d}$和$\star$的适用范围可比$\mathrm{grad},\mathrm{curl},\mathrm{div}$广得多。

1-form

所以到底什么是$\mathrm{d}x$？这取决于我们是在什么样的上下文中进行的这一系列演算，换言之，演算出来的结果是拿来干嘛的。

定义${\mathbb{R}}^n$中的1-form$\omega$为具有如下形式的表达式：

$$\omega =\sum _n{f}_i\mathrm{d}{x}_i$$

这里先把$\mathrm{d}{x}_i$看作无特殊含义的记号，其意义要在确定了它能进行什么样的运算后才会浮现。现考虑某条性质良好的曲线$C$，定义$\omega$在$C$上的积分为：

$${\int }_C\omega ={\int }_C⟨f_1,\dots ,f_n⟩\cdot \hat{t}\mathrm{d}s$$

设想我们把曲线参数化为$\varphi :D\to S$，则此积分可以被写成：

$${\int }_C\omega ={\int }_D⟨f_1,\dots f_n⟩\cdot ⟨\frac{\mathrm{d}{x}_1}{\mathrm{d}t},\dots ,\frac{\mathrm{d}{x}_n}{\mathrm{d}t}⟩\mathrm{d}t={\int }_D\left(\sum _n{f}_i\frac{\mathrm{d}{x}_i}{\mathrm{d}t}\right)\mathrm{d}t$$

其中$\varphi (t)=(x_1,\cdots ,x_n)$。可以看到，当使用参数$t$进行积分时，$\mathrm{d}{x}_i$将被替换为：

$$\mathrm{d}{x}_i⟶\frac{\mathrm{d}{x}_i}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t$$

右侧的$x_i$是货真价实的${\mathbb{R}}_n$中的坐标值。注意这里的$\mathrm{d}t$也没什么特别含义，其意义仅仅是由积分运算赋予的，指明我们是在用什么来进行积分。（这符号系统也太垃圾了，上文中的$\mathrm{d}x,\mathrm{d}f,\mathrm{d}t$各具有不同的类型，真是整蛊小能手……）

在这种诠释下，$\mathrm{d}x$是由对它进行的积分定义的，对$\mathrm{d}x$施加的一切运算规则都需要确保积分结果不变。

这个诠释相当不错，$\mathrm{d}x$在进行变量代换时不会受到影响，直到最后真的要用某个变量$t$进行积分时，才展开成与$t$有关的形式，不管中间进行了多复杂的变量代换，都蕴含在$\mathrm{d}x/\mathrm{d}t$中了。

2-form

考虑简化的情形：

$$\omega =a\mathrm{d}{x}_1\wedge \mathrm{d}{x}_2$$

对参数化曲面$\varphi :D\to S$，定义：

$${\int }_S\omega ={\int }_{D}a\mathrm{d}{x}_1\wedge \mathrm{d}{x}_2\left(\frac{\partial \varphi }{\partial y_1},\frac{\partial \varphi }{\partial y_2}\right)\mathrm{d}{y}_1\mathrm{d}{y}_2$$

其中，

$$\mathrm{d}{x}_1\wedge \mathrm{d}{x}_2(v_1,v_2)=\det \left(\begin{array}{cc}\mathrm{d}{x}_1(v_1)& \mathrm{d}{x}_2(v_1)\\ \mathrm{d}{x}_1(v_2)& \mathrm{d}{x}_2(v_2)\end{array}\right)$$

$\mathrm{d}{x}_1(v_1)$是$v_1$在$\mathrm{d}{x}_1$方向上的长度。

这就是说，$\mathrm{d}{x}_1\wedge \mathrm{d}{x}_2$在用$\mathrm{d}{y}_1\mathrm{d}{y}_2$积分时会变成：

$${\int }_S\mathrm{d}{x}_1\wedge \mathrm{d}{x}_2⟶{\int }_D\frac{\partial (x_1,x_2)}{\partial (y_1,y_2)}\mathrm{d}{y}_1\mathrm{d}{y}_2$$

很容易将这套定义推广到$k$-form。

验证

上面的定义看起来很不错，还需要验证一下它是否满足我们熟悉的运算规则，这样才能大胆地用它来算东西。

比如这是大家都喜欢的分配律：

$$\mathrm{d}{x}_1\wedge (\mathrm{d}{x}_2+\mathrm{d}{x}_3)=\mathrm{d}{x}_1\wedge \mathrm{d}{x}_2+\mathrm{d}{x}_1\wedge \mathrm{d}{x}_3$$

验证如下：

$$\begin{array}{rl}{\int }_S\mathrm{d}{x}_1\wedge (\mathrm{d}{x}_2+\mathrm{d}{x}_3)& ={\int }_D\det \left(\begin{array}{cc}\mathrm{d}{x}_1\left(\frac{\partial \varphi }{\partial y_1}\right)& (\mathrm{d}{x}_2+\mathrm{d}{x}_3)\left(\frac{\partial \varphi }{\partial y_1}\right)\\ \mathrm{d}{x}_1\left(\frac{\partial \varphi }{\partial y_2}\right)& (\mathrm{d}{x}_2+\mathrm{d}{x}_3)\left(\frac{\partial \varphi }{\partial y_2}\right)\end{array}\right)\mathrm{d}{y}_1\mathrm{d}{y}_2\\ & ={\int }_D\det \left(\begin{array}{cc}\mathrm{d}{x}_1\left(\frac{\partial \varphi }{\partial y_1}\right)& \mathrm{d}{x}_2\left(\frac{\partial \varphi }{\partial y_1}\right)\\ \mathrm{d}{x}_1\left(\frac{\partial \varphi }{\partial y_2}\right)& \mathrm{d}{x}_2\left(\frac{\partial \varphi }{\partial y_2}\right)\end{array}\right)\mathrm{d}{y}_1\mathrm{d}{y}_2+{\int }_D\det \left(\begin{array}{cc}\mathrm{d}{x}_1\left(\frac{\partial \varphi }{\partial y_1}\right)& \mathrm{d}{x}_3\left(\frac{\partial \varphi }{\partial y_1}\right)\\ \mathrm{d}{x}_1\left(\frac{\partial \varphi }{\partial y_2}\right)& \mathrm{d}{x}_3\left(\frac{\partial \varphi }{\partial y_2}\right)\end{array}\right)\mathrm{d}{y}_1\mathrm{d}{y}_2\\ & ={\int }_S\mathrm{d}{x}_1\wedge \mathrm{d}{x}_2+\mathrm{d}{x}_1\wedge \mathrm{d}{x}_3\end{array}$$

这里省略了一些平凡的定义，比如2-forms之间的加法。在明确了各种定义后，这堆公式与其说是证明，不如说是平凡的同义反复。不过话说回来，整个数学都是同义反复（

总而言之，透过积分和jacobian矩阵，我们终于可以拿着$\mathrm{d}x$到处晃荡了。只是需要注意，这里differential k-forms的意义是由$k$维表面上的积分赋予的，如果我们处在一个相应的积分无数学意义的context中，就不能随意使用这些运算规则。

当然，应该还有其他视角，进而适用范围也与此不同。不过我的学习态度比较功利，对此暂时不感兴趣。

Stokes’s Theorm

$${\int }_{\Omega }\mathrm{d}\omega ={\int }_{\partial \Omega }\omega$$

其中$\partial \Omega$表示$\Omega$的边界。

一个有趣的关联是，$\partial \partial \Omega =\varnothing$，于是——

$${\int }_{\Omega }{\mathrm{d}}^2\omega ={\int }_{\partial \Omega }\mathrm{d}\omega ={\int }_{\partial \partial \Omega }\omega ={\int }_{\varnothing }\omega =0$$

从而${\mathrm{d}}^2\omega =0$。

Inner Product

对$D\subseteq {\mathbb{R}}^n$上的$k$-form$\alpha ,\beta$，定义：

$$⟨\alpha ,\beta ⟩:={\int }_D\star \alpha \wedge \beta$$

Vector-Valued k-form

$k$-form是把$k$个向量映射成一个标量，${\mathbb{R}}_m$-valued $k$-form则是把$k$个向量映射成一个$m$维向量。

设$\alpha ,\beta :V\to {\mathbb{R}}^3$，那么：

$$\alpha \wedge \beta (u,v)=\alpha (u)\times \beta (v)-\alpha (v)\times \beta (u)$$

Surfaces

Induced Metric. 对参数曲面$f:D\to S$，设$X,Y$是$D$中的两个向量，它们在$S$上的夹角、长度等可以被这样反映：

$$g(X,Y):=⟨\mathrm{d}f(X),\mathrm{d}f(Y)⟩$$

注意到$g(X,Y)=(J_{f}X{)}^T(J_{f}Y)=X^T(J_f^T{J}_f)Y$，其中$J_f$是$f$的Jacobian矩阵。我们把$I:=J_f^T{J}_f$称为first fundamental form，显然它是对称的。我没什么insight，看不出这哪里fundamental了……

如果我们把眼光限制在二维曲面上的话，它上面的differential forms会相对简单，只有三种——

• 0-form，标量函数
• 1-form，就像曲面上的一个向量场
• 2-form，scalar multiples of oriented area，某种意义上也像标量函数

0/2-form之间对应的hodge star都非常平凡，1-form的hodge star则是在曲面上原地旋转90°。若将此曲面参数化为$z:D\to S$，那么这个1-form hodge star可以表示成：

$$\star \omega (X):=\omega (JX)$$

其中$J$是使得$X$在曲面上转90°的映射——

$$\mathrm{d}z(JX)=N\times \mathrm{d}z(X)$$

Discrete Differential Forms

基本概念

Discrete differential $k$-form. oriented $k$-simplex → value。如果这个simplicial complex中的simplex是带编号的，那么上面的$k$-form就能直接用一个向量来表示，每个元素都代表一个oriented simplex对应的$k$-form值。

de Rham Map. 设$K$是一个oriented simplicial complex，$k$-simplex $\sigma \in K$，可以像这样把$k$-form$\omega$离散化到$\sigma$上：

$${\hat{\omega }}_{\sigma }:={\int }_{\sigma }\omega$$

Boundary. 设$k$-simplex$\sigma =(v_0,v_1,\cdots ,v_k)$，定义其边界为：

$$\partial \sigma :=\sum _{i=1}^k(-1{)}^p(v_0,\cdots ,v_{i-1},v_{i_1},\cdots ,v_k)$$

注意这里的加法就只单纯地组装出来一个oriented simplex的列表，这样的列表被称为“simplicial chain”。Simplex上的边界可以被自然地拓展到chain上：

$$\partial \sum _i{c}_i{\sigma }_i=\sum _i{c}_i\partial {\sigma }_i$$

美妙的事情来了，boundary of boundary是$\varnothing$！

Simplicial $k$-cochain：linear map taking a simplicial $k$-chain to a number——

$$\alpha (\sum _i{c}_i{\sigma }_i)=\sum _i{\alpha }_i{c}_i$$

显然之前的discrete $k$-form可以被自然地视作一个simplicial $k$-cochain。$k$-chain就像$k$-vector，$k$-cochain则像$k$-form，也就是对$k$-vector的measurement：

（图片来自CS 15-458/858）

Discrete Exterior Derivative

既然discrete differential $k$-form是把differential $k$-form在oriented simplex上积分得来的，那么连续版derivative operator作用的结果在oriented simplex上积分，就能得到离散版本的d operator。

考虑某个0-form$\varphi$，它的离散版本是$\hat{\varphi }$，即在顶点处采样$\varphi$得到的一堆值。我们知道，$\mathrm{d}\varphi$是个1-form，那么$\widehat{\mathrm{d}\varphi }$就应该是把$\mathrm{d}\varphi$在1-simplex上积分的结果——

$$(\widehat{\mathrm{d}\varphi }{)}_e:={\int }_e\mathrm{d}\varphi ={\int }_{\partial e}\varphi ={\hat{\varphi }}_b-{\hat{\varphi }}_a$$

其中oriented edge$e=(a,b)$。显然，这一结果可以借助Stokes定理推广到任意$k$-form上。噢噢噢噢噢，$\hat{\mathrm{d}}$有了！

Matrix Representation

之前提到，在domain进行了编号的情况下，discrete $k$-form可以被编码成列向量。设想某个simplicial 2-complex，有$|V|$个顶点，$|E|$条边，而且都编好了号，那么从0-form到1-form的derivative operator就可以被编码为一个$|E|\times |V|$的incident matrix，用它乘$V$对应的列向量， 就能得到$E$对应的向量。类似地，simplicial complex上所有的derivative都可以被编码成这样的矩阵，矩阵内容由simplicial complex中的邻接关系、编号、以及朝向决定。

Discrete Hodge Star

之前把各种连续情形下的概念弄到离散情形下的方式都非常自然，但是接下来要说的discrete hodge star就充满了工程感——我们还没找到完美的离散版本，所以只能强行构造一个，近似捕获其主要特征，从而进行各种涉及到hodge star的计算（$\mathrm{div},\mathrm{grad},\mathrm{curl},\Delta$等）。

Dual Forms (Based on Poincaré Duality). 对simplicial $k$-complex，其中的每个primal $k$-form对应一个dual 0-form，每个primal $(k-1)$-form对应一个dual 1-form，以此类推，每个primal 0-form对应一个dual $k$-form。

Circumcentric Dual. 如何决定dual mesh的顶点位置呢？对simplicial $k$-complex中的每个$k$-simplex，其外接球体是唯一的，我们就把这个$k$-simplex的dual vertex放在球心的位置。可以证明，这样构造出的dual form和primary form在空间中相互垂直。

也存在其他确定dual mesh位置的方式，但circumcentric dual是最常用的。

Diagonal Hodge Star. 考虑一个primal $k$-form$\sigma$和其dual $(n-k)$-form$\sigma \ast$，disgonal hodge star被定义为：

$$\star \alpha (\sigma \ast )=\frac{|\sigma \ast |}{|\sigma |}\alpha (\sigma )$$

其中$|\cdot |$是simplex cell的体积。

Discrete hodge star的定义背后有着这样的动机：假设primal form和其对应的dual form在几何上相互垂直，这和连续情形下的hodge star一致。我们知道，连续hodge star可以保持作用前后的”长度”不变，而discrete differential froms的值是把连续情形的值在simplex内积分得到的，其结果会受到cell大小的影响。通过$|\sigma \ast |/|\sigma |$，这一影响被排除了。

之所以把用这种方式定义的hodge star称为diagonal hodge star，是因为其矩阵表示是个对角矩阵，对角元素正是这些$|\sigma \ast |/|\sigma |$。

一般来说，我们很少会真的去计算dual mesh的位置，而是用各种边长和内角直接导出volume的比值，就像这样（0-form的volume被工程地设定为1）：