Differential Geometry Note

Note. 如非专门说明，以下涉及到的函数均为任意阶可导。

方向导数

$f$在$\mathbf{p}$点沿$\mathbf{v}$的方向导数：

$$v_{\mathbf{p}}[f]=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f\left(\mathbf{p}+t\mathbf{v}\right)$$

Tangent Map

设$F:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$，对${\mathbb{R}}^n$中的tangent vector $v_p$，定义tangent map $F\ast$，它将$v_p$映射至$F(p)\in {\mathbb{R}}^m$处的tangent vector，向量部分则是：

$$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{F(p+tv)-F(p)}{t}$$

即：在$p$处向$v$方向挪一点，对应地在经$F$映射后会向哪个方向挪多少。显然tangent map对向量部分是线性的。

1-form

1-form：定义在${\mathbb{R}}^n$中的全体tangent vector上，在每一点的tangent vector间满足线性性的函数：

$$\varphi (a{\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}+b{\mathbf{w}}_{\mathbf{p}})=a\varphi ({\mathbf{v}}_{\mathbf{p}})+b\varphi ({\mathbf{w}}_{\mathbf{p}})$$

Differential

1-form $\mathrm{d}f$：

$$\mathrm{d}f({\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}):={\mathbf{v}}_{\mathbf{p}}[f]$$

Exterior derivative:

$$\mathrm{d}\left(\sum f_i\mathrm{d}{x}_i\right)=\sum \mathrm{d}{f}_i\wedge \mathrm{d}{x}_i$$

Regular Mapping

称映射$F:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$是regular的，当且仅当对任意$p\in {\mathbb{R}}^n$，$F{\ast }_p$是一一对应的。根据tangent map的线性性，以下三句话互相等价：

• $F{\ast }_p$是一一对应的
• $F\ast ({\mathbf{v}}_p)=0\Rightarrow {\mathbf{v}}_p=0$
• $F$在$p$处的Jacobian矩阵秩为$n$

Frenet formulas

对unit-speed curve：

$$\begin{array}{rlrlr}{T}^{\prime }& =& & +\kappa N& \\ N^{\prime }& =-\kappa T& & & +\tau B\\ B^{\prime }& =& & -\tau N& \end{array}$$

对非unit-speed curve，右边所有项乘以速率$v$即可。

对${\mathbb{R}}^3$中的regular curve $\alpha$：

$$\begin{array}{rl}T& =\frac{{\alpha }^{\prime }}{|{\alpha }^{\prime }|}\\ N& =N\times T\\ B& =\frac{{\alpha }^{\prime }\times {\alpha }^{\prime \prime }}{{\alpha }^{\prime }\times {\alpha }^{\prime \prime }}\\ \kappa & =\frac{|{\alpha }^{\prime }\times {\alpha }^{\prime \prime }|}{|{\alpha }^{\prime }{|}^3}\\ \tau & =\frac{({\alpha }^{\prime }\times {\alpha }^{\prime \prime })\cdot {\alpha }^{\prime \prime \prime }}{|{\alpha }^{\prime }\times {\alpha }^{\prime \prime }{|}^2}\end{array}$$

Covariant Derivatives

设$\mathbf{W}$是vector field，$\mathbf{v}$是$\mathbf{p}$处的tangent vector，那么：

$${\nabla }_{\mathbf{v}}\mathbf{W}=\mathbf{W}(\mathbf{p}+t\mathbf{v}{)}^{\prime }(0)$$

可以认为这就是向量版的方向导数，毕竟：

$${\nabla }_{\mathbf{v}}\mathbf{W}=\sum \mathbf{v}[w_i]{\mathbf{U}}_i(\mathbf{p})$$

Connection Forms

考虑空间中的frame field ${\mathbf{E}}_1,{\mathbf{E}}_2,{\mathbf{E}}_3$，把它沿tangent vector $\mathbf{v}$的变化率用它自己表达出来：

$${\nabla }_{\mathbf{v}}{\mathbf{E}}_i=\sum _j{\omega }_{ij}(\mathbf{v}){\mathbf{E}}_j(\mathbf{p})$$

其中${\omega }_{ij}(\mathbf{v}):={\nabla }_{\mathbf{v}}{\mathbf{E}}_i\cdot E_j(\mathbf{p})$，可以证明${\omega }_{ij}$是1-form，这些1-form被称为${\mathbf{E}}_1,{\mathbf{E}}_2,{\mathbf{E}}_3$的connection forms。

由此衍生的connection equation：

$${\nabla }_{\mathbf{V}}{\mathbf{E}}_i=\sum _j{\omega }_{ij}(\mathbf{V}){\mathbf{E}}_j$$

注意到${\omega }_{ij}=-{\omega }_{ji}$，由此可以把${\mathbb{R}}^3$中的9个${\omega }_{ij}$归并成三个：

$$\mathbf{\omega }=\left[\begin{array}{ccc}0& {\omega }_{12}& {\omega }_{13}\\ -{\omega }_{12}& 0& {\omega }_{23}\\ -{\omega }_{13}& -{\omega }_{23}& 0\end{array}\right]$$

注意frenet formula与此式是一致的。

记${\mathbf{E}}_i={\sum }_j{a}_{ij}{\mathbf{U}}_j$，容易证明：

$${\omega }_{ij}=\sum _k{a}_{jk}\mathrm{d}{a}_{ik}$$

或者说：

$$\mathbf{\omega }=\mathrm{d}\mathbf{A}{\mathbf{A}}^T$$

其中$\mathrm{d}\mathbf{A}$是对$\mathbf{A}=[a_{ij}]$逐元素求differential。

Dual 1-Forms

${\mathbf{E}}_1,{\mathbf{E}}_2,{\mathbf{E}}_3$的dual 1-forms ${\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3$如下定义：

$${\theta }_i(\mathbf{v})=\mathbf{v}\cdot {\mathbf{E}}_i(\mathbf{p})$$

${\theta }_i(\mathbf{v})$丈量了$\mathbf{v}$在${\mathbf{E}}_i$方向上有多大。

Cartan Structural Equations

根据dual 1-forms的定义，可以把connection equations改写成：

$$d{\theta }_i=\sum _j{\omega }_{ij}\wedge {\theta }_j$$

称为the first structural equation。The second structural equation则是：

$$d{\omega }_{ij}=\sum _k{\omega }_{ik}\wedge {\omega }_{kj}$$

Isometry

如果对任意$F:{\mathbb{R}}^3\to {\mathbb{R}}^3$对任意$p,q\in {\mathbb{R}}^n$，都满足：

$$d(F(p),F(q))=d(p,q)$$

就称$F$是${\mathbb{R}}^3$中的一个等距映射（isometry）。

省流：旋转$C$ + 平移$T$，渲染人再熟悉不过了。

Isometry的tangent map：

$$F\ast (v_p)=C(v{)}_{F(p)}$$

其中$C$是$F$的旋转部分，也就是平移部分作用在$p$上，旋转部分作用在方向$v$上。

Surface

Patch. One-to-one regular mapping

Proper Patch. 反函数连续的patch

Surface. ${\mathbb{R}}^3$的子集$M$，对$M$中任意一点$p$，均存在包含$p$在$M$中的邻域的proper patch

隐式定义的表面：设$M$是方程$g(x,y,z)=c$的解集，若$\forall p\in M,\nabla g(p)\ne 0$，则$M$是一个surface。（当然，需要排除一些degenerate cases，比如$M$为空）

Parameterization

设$\mathbf{x}:D\to {\mathbb{R}}^3$是regular mapping，且$\mathbf{x}(D)$在表面$M$中，称$\mathbf{x}$是$\mathbf{x}(D)$的一个参数化（parameterization）。

Partial Velocity

固定patch $\mathbf{x}(u,v)$中的$u$或$v$，可以得到两族曲线，每条曲线的velocity vector分别被记作${\mathbf{x}}_u$和${\mathbf{x}}_v$：

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{x}}_u(u_0,v_0)& =\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\mathbf{x}(u_0+t,v_0)-\mathbf{x}(u_0,v_0)}{t}\\ {\mathbf{x}}_v(u_0,v_0)& =\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\mathbf{x}(u_0,v_0+t)-\mathbf{x}(u_0,v_0)}{t}\end{array}$$

若$\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)$，显然两个partial velocity可以被表示为：

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{x}}_u& =\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial x_1}{\partial u}& \frac{\partial x_2}{\partial u}& \frac{\partial x_3}{\partial u}\end{array}\right]\\ {\mathbf{x}}_v& =\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial x_1}{\partial v}& \frac{\partial x_2}{\partial v}& \frac{\partial x_3}{\partial v}\end{array}\right]\end{array}$$

容易证明$\mathbf{x}$是regular的当且仅当${\mathbf{x}}_u\times {\mathbf{x}}_v$总是不为0，或者说它两不平行。

Normal

若$M:g=c$是surface，那么$\nabla g\ne 0$是$M$上的normal vector field，即$\nabla g(p)$垂直于$p$处的tangent plane。

Directional Derivative on Surface

令$\mathbf{v}$是表面$M$上点$\mathbf{p}$处的一个tangent vector，$f$是$M$上的函数，对所有$M$上在点$\mathbf{p}$处初速度为$\mathbf{v}$的曲线$\alpha$，下式的值相同：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(f\alpha )(0)$$

将此值定义为$\mathbf{v}[f]$。

就是让$f$往$\mathbf{v}$方向挪动一点点，然后看$f$变化了多少，和普通的方向导数没啥区别，只是使用曲线作为叙述的语言，方便在surface上处理。

2-Form

表面$M$上的2-form $\eta$是定义在$M$上的全体tangent vector pair上的实值函数，满足：

1. $\eta (\mathbf{v},\mathbf{w})$对$\mathbf{v}$和$\mathbf{w}$都是线性的
2. $\eta (\mathbf{v},\mathbf{w})=-\eta (\mathbf{w},\mathbf{v})$

容易看到$\eta (\mathbf{v},\mathbf{v})=0$。此外：

$$\eta (a\mathbf{v}+b\mathbf{w},c\mathbf{v}+d\mathbf{w})=\left|\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right|\eta (\mathbf{v},\mathbf{w})$$

Wedge Product

设$\varphi$和$\psi$都是$M$上的1-form，定义：

$$(\varphi \wedge \psi )(\mathbf{v},\mathbf{w}):=\varphi (\mathbf{v})\psi (\mathbf{w})-\varphi (\mathbf{w})\psi (\mathbf{v})$$

Exterior Drivative

设$\varphi$是$M$上的1-form，定义：

$$\mathrm{d}\varphi ({\mathbf{x}}_u,{\mathbf{x}}_v):=\frac{\partial }{\partial u}(\varphi ({\mathbf{x}}_v))-\frac{\partial }{\partial v}(\varphi ({\mathbf{x}}_u))$$

此定义对不同的参数化是一致的。

称$\varphi$是closed的，若$\mathrm{d}\varphi =0$；称$\varphi$是exact的，若$\varphi$是某个$\xi$的$\mathrm{d}\xi$。

Inverse

设$\mathbf{x}:D\to M$是个patch，记${\mathbf{x}}^{-1}(\mathbf{p})=(\tilde{u}(\mathbf{p}),\tilde{v}(\mathbf{p}))$，则：

$$\begin{array}{rl}\tilde{u}(\mathbf{x}(u,v))& =u\\ \tilde{v}(\mathbf{x}(u,v))& =v\end{array}$$

并且：

$$\begin{array}{rlrl}\mathrm{d}\tilde{u}({\mathbf{x}}_u)& =1,& \mathrm{d}\tilde{u}({\mathbf{x}}_v)& =0\\ \mathrm{d}\tilde{v}({\mathbf{x}}_u)& =0,& \mathrm{d}\tilde{v}({\mathbf{x}}_v)& =1\end{array}$$

给定1-form $\varphi$和2-form $\eta$，有：

$$\begin{array}{rl}\varphi & =\varphi ({\mathbf{x}}_u)\mathrm{d}\tilde{u}+\varphi ({\mathbf{x}}_v)\mathrm{d}\tilde{v}\\ \eta & =\eta ({\mathbf{x}}_u,{\mathbf{x}}_v)\mathrm{d}\tilde{u}\wedge \mathrm{d}\tilde{v}\end{array}$$

Mapping of Surfaces

设$M,N$是surface，$F:M\to N$是从$M$到$N$的函数，如果对每个$M$的patch $\mathbf{x}$和$N$的patch $\mathbf{y}$，${\mathbf{y}}^{-1}F\mathbf{x}$都是可微的，那么称$F$是可微的，且称其为mapping of surfaces。

容易证明$F\ast$保留速度（preserves velocities）。曲线$\alpha$在某点的速度为${\alpha }^{\prime }$，那么：

$$(F(\alpha ){)}^{\prime }=F\ast ({\alpha }^{\prime })$$

由此：

$$\begin{array}{rl}F\ast ({\mathbf{x}}_u)& ={\mathbf{y}}_u\\ F\ast ({\mathbf{x}}_v)& ={\mathbf{y}}_v\end{array}$$

Diffeomorphism

若mapping $F:M\to N$有对应的逆$F^{-1}:N\to M$，就称$F$为diffeomorphism（微分同胚）。

类似反函数定理：设$F:M\to N$是mapping of surfaces，如果$F\ast$在$p$处是linear isomorphism的（或者说$F$在$p$处是regular的），那么存在$p$的某个邻域$\mathcal{N}$使得$F$在$\mathcal{N}$上的部分是一个diffeomorphism。由此，如果$F$整个都是regular的，那么$F$是diffeomorphism。

Mapping on Differential Forms

设$F:M\to N$是mapping of surfaces，$\varphi$和$\eta$分别是$N$上的1-form和2-form，定义：

$$\begin{array}{rl}(F^{\ast }\varphi )(\mathbf{v})& =\varphi (F\ast \mathbf{v})\\ (F^{\ast }\eta )(\mathbf{v},\mathbf{w})& =\eta (F\ast \mathbf{v},F\ast \mathbf{w})\end{array}$$

可以证明：

$$\begin{array}{rl}{F}^{\ast }(\xi +\eta )& =F^{\ast }\xi +F^{\ast }\eta \\ F^{\ast }(\xi \wedge \eta )& =F^{\ast }\xi \wedge F^{\ast }\eta \\ F^{\ast }(\mathrm{d}\xi )& =\mathrm{d}(F^{\ast }\xi )\end{array}$$

Line Integral

$${\int }_{\alpha }\varphi :={\int }_{[a,b]}{\alpha }^{\ast }\varphi ={\int }_a^b\varphi ({\alpha }^{\prime }(t))\mathrm{d}t$$

$\varphi$是定义在曲线$\alpha$上的，${\alpha }^{\ast }\varphi$是将它“pullback”到参数区间$[a,b]$上来进行积分：

$$({\alpha }^{\ast }\varphi )(\mathbf{U}(t))=\varphi (\alpha \ast (\mathbf{U}(t)))=\varphi ({\alpha }^{\prime }(t))$$

Fundamental Theorem of Calculus

$${\int }_{\alpha }\mathrm{d}f=f(\mathbf{q})-f(\mathbf{p})\text{where }\mathbf{q}=\alpha (b),\mathbf{p}=\alpha (a),\alpha =[a,b]$$

2-form Integral

$${\iint }_{\mathbf{x}}\eta :={\iint }_R{x}^{\ast }\eta ={\int }_a^b{\int }_c^d\eta ({\mathbf{x}}_u,{\mathbf{x}}_v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v$$

Stokes’ Theorem

$${\iint }_{\mathbf{x}}\mathrm{d}\varphi ={\int }_{\partial \mathbf{x}}\varphi$$